Dayi Lin, Ph.D.

Senior Researcher, Data Science and Software Engineering

LCS(最长公共子序列)

笔记

上次在实验室作《从分治到动归 – 最优问题解法》的讲座的时候,举了LCS(最长公共子序列)作为例子:

LCS问题

LCS是Longest Common Subsequence的缩写,即最长公共子序列。一个序列,如果是两个或多个已知序列的子序列,且是所有子序列中最长的,则为最长公共子序列。

例如:

X={A,B,C,B,D,A,B}

Y={B,D,C,A,B,A}

则X和Y的最长公共子序列(之一)是{B,C,B,A}

传统动归解LCS

设有二维数组f[i,j] 表示 X 的 i 位和 Y 的 j 位之前的最长公共子序列的长度,则有:

f[i,j] = max{f[i-1][j -1] + same(i,j),f[i-1,j],f[i,j-1]}

其中,same(a,b)当 X 的第 a 位与 Y 的第 b 位相同时为“1”,否则为“0”。

初值:f[i][0]=0; f[0][i]=0; f[1][1] = same(1,1)

这个动归方程乍看可能不好理解。它的思想是这样的。

对于已知f[i][j]的值,要往后拓展,有这两种情况:其末位i和j相同,或不相同。

考虑相同情况。因为i和j相同,它们必然已被记入最长公共子序列的部分。此时要想延长这个公共子序列,只得令i和j都向后移,看看它们后一位是否也相同。这就是f[i][j]+same(i+1,j+1)

而对于不同情况,有这几种可能: 虽然第i和j位不相同,但i和j+1是相同的。此时要想延长,便是f[i][j+1]的情况。当然也可能i+1和j相同,便是f[i+1][j]的情况。

综上,写成递归式,因为不知道前一个状态的情况,所以便在这三种可能中取最大值。此时f[i][j]变为f[i-1][j-1]f[i][j+1]变为f[i-1][j]f[i+1][j]变为f[i][j-1]。便得到了上面的递归式。而初值很好理解,这里就不赘述了。

不难算出,这个算法的时间复杂度是O(n^2),空间复杂度也是O(n^2),但因为状态只与上一行有关,所以可以将空间复杂度优化至O(n)。

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