上次在实验室作《从分治到动归 – 最优问题解法》的讲座的时候，举了LCS（最长公共子序列）作为例子。当时讲的是传统的动态规划解法。下面先提一下这个解法作为铺垫。
LCS问题
LCS是Longest Common Subsequence的缩写，即最长公共子序列。一个序列，如果是两个或多个已知序列的子序列，且是所有子序列中最长的，则为最长公共子序列。
例如：
X={A,B,C,B,D,A,B}
Y={B,D,C,A,B,A}
则X和Y的最长公共子序列（之一）是{B,C,B,A}
传统动归解LCS
设有二维数组f[i,j] 表示 X 的 i 位和 Y 的 j 位之前的最长公共子序列的长度，则有：
f[i,j] = max{f[i-1][j -1] + same(i,j),f[i-1,j],f[i,j-1]}
其中，same(a,b)当 X 的第 a 位与 Y 的第 b 位相同时为“1”，否则为“0”。
初值：f[i][0]=0 f[0][i]=0 f[1][1] = same(1,1)
这个动归方程乍看可能不好理解。它的思想是这样的。
对于已知f[i][j]的值，要往后拓展，有这两种情况：其末位i和j相同，或不相同。
考虑相同情况。因为i和j相同，它们必然已被记入最长公共子序列的部分。此时要想延长这个公共子序列，只得令i和j都向后移，看看它们后一位是否也相同。这就是f[i][j]+same(i+1,j+1)。
而对于不同情况，有这几种可能： 虽然第i和j位不相同，但i和j+1是相同的。此时要想延长，便是f[i][j+1]的情况。当然也可能i+1和j相同，便是f[i+1][j]的情况。
综上，写成递归式，因为不知道前一个状态的情况，所以便在这三种可能中取最大值。此时f[i][j]变为f[i-1][j-1]，f[i][j+1]变为f[i-1][j]，f[i+1][j]变为f[i][j-1]。便得到了上面的递归式。而初值很好理解，这里就不赘述了。
不难算出，这个算法的时间复杂度是O(n^2)，空间复杂度也是O(n^2)，但因为状态只与上一行有关，所以可以将空间复杂度优化至O(n)。
另一种解法？(以下内容有误，13/10/25勘误)
网络上还能找到另一种解决这个问题的方法：
（1）将两个字符串分别以行和列组成矩阵。
（2）计算每个节点行列字符是否相同，如相同则为1。
（3）通过找出值为1的最长对角线即可得到最长公共子串。本方法只能得到最长连续公共子串，下列讨论关于最长公共子串全部应替换为最长连续公共子串。
为进一步提升该算法，我们可以将字符相同节点的值加上左上角（d[i-1，j-1]）的值，这样即可获得最大公共子串的长度。如此一来只需以行号和最大值为条件即可截取最大子串。
这个方法非常好理解，直观易懂。而不难发现它的时间复杂度，竟然也是O(n^2)，空间复杂度也可以由O(n^2)优化到O(n)！
这是巧合吗？
我们来分析一下这个做法。首先我们能总结出这个方法的递推式：d[i][j]=d[i-1][j-1]+same(i,j)。是不是很眼熟？但和上面的还不大一样啊？缺了两种情况呢。
别急，这个方法还需要在全矩阵中找出最大的值。而上面的动归方程，分散在各个状态求max的过程，合并起来，不就是求全矩阵的最大值吗？这段也有错误。详见下方勘误。
殊途同归！
动归解法通过记录各个不同截取位置的方法，避免朴素解法中的重复比较，从而提升了效率。而这个方法中的矩阵，其作用不难发现，也是一种记录的行为。
思想只存于我们的脑子中，我们的思维使算法发生了变化。但其结果，却殊途同归。
算法，是一种哲学。