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LCS(最长公共子序列)

上次在实验室作《从分治到动归 – 最优问题解法》的讲座的时候，举了LCS（最长公共子序列）作为例子： LCS问题 LCS是Longest Common Subsequence的缩写，即最长公共子序列。一个序列，如果是两个或多个已知序列的子序列，且是所有子序列中最长的，则为最长公共子序列。 例如： X={A,B,C,B,D,A,B} Y={B,D,C,A,B,A} 则X和Y的最长公共子序列（之一）是{B,C,B,A} 传统动归解LCS 设有二维数组f[i,j] 表示 X 的 i 位和 Y 的 j 位之前的最长公共子序列的长度，则有： f[i,j] = max{f[i-1][j -1] + same(i,j),f[i-1,j],f[i,j-1]} 其中，same(a,b)当 X 的第 a 位与 Y 的第 b 位相同时为“1”，否则为“0”。 初值：f[i][0]=0; f[0][i]=0; f[1][1] = same(1,1) 这个动归方程乍看可能不好理解。它的思想是这样的。 对于已知f[i][j]的值，要往后拓展，有这两种情况：其末位i和j相同，或不相同。 考虑相同情况。因为i和j相同，它们必然已被记入最长公共子序列的部分。此时要想延长这个公共子序列，只得令i和j都向后移，看看它们后一位是否也相同。这就是f[i][j]+same(i+1,j+1)。 而对于不同情况，有这几种可能： 虽然第i和j位不相同，但i和j+1是相同的。此时要想延长，便是f[i][j+1]的情况。当然也可能i+1和j相同，便是f[i+1][j]的情况。 综上，写成递归式，因为不知道前一个状态的情况，所以便在这三种可能中取最大值。此时f[i][j]变为f[i-1][j-1]，f[i][j+1]变为f[i-1][j]，f[i+1][j]变为f[i][j-1]。便得到了上面的递归式。而初值很好理解，这里就不赘述了。 不难算出，这个算法的时间复杂度是O(n^2)，空间复杂度也是O(n^2)，但因为状态只与上一行有关，所以可以将空间复杂度优化至O(n)。